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Black Body Radiation

• Stephen-Boltzman Law: $P_{blackbody} = \sigma AT^4$
• Wien's Law: $\lambda_{peak}T=\text{Const.}$
• Rayleigh-Jeans Law: $R(\lambda,T)=\frac{2\pi ckT}{\lambda^4}$
• Plank's Law: $R(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5 (e^{hc/\lambda kT}-1)}$

Compton Effect: $\Delta\lambda = \frac{h}{m_0c}(1-\cos\theta)$

Bohr의 가정(각운동량 양자화): $L=mvr=n\hbar$

수소 원자

• $r_n = \frac{\epsilon_0n^2h^2}{\pi me^2}$
• $v_n = \frac{e^2}{2\epsilon_0 nh}$
• Bohr Radius $a_0=\frac{\epsilon_0h^2}{\pi me^2}$
• $r_n = a_0n^2$
• $K = \frac{me^4}{8\epsilon_0^2n^2h^2}$
• $U = -\frac{me^4}{4\epsilon_0^2n^2h^2}$
• $E=U+K = -\frac{me^4}{8\epsilon_0^2n^2h^2}$
• $R_H=\frac{me^4}{8c\epsilon_0^2h^3}$
• $\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{{n_1}^2}-\frac{1}{{n_2}^2}\right)$

De Broglie wave length: $\lambda = \frac{h}{p}$

불확정성 원리: $\Delta x\Delta p\ge \hbar$, $\Delta E\Delta t\ge \hbar$

Schrodinger Equation(Time Independent)

• Hamiltonian: $H=\frac{P^2}{2m}+U$
• $P=\frac{\hbar}{i}\nabla=-\hbar^2\nabla^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)$
• Schrodinger Equation: $H\psi = E\psi$
• Probability Density function: $P(x)=\psi^2(x)$
• normalization condition: $\int_{-\infty}^\infty\psi^2dx=1$

Bohr's correspondence principle: 양자적 현상의 scale을 키우면 고전역학적 분석에 수렴한다.

Inifinite Potential Well (1D)

• $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi$
• Boundary condition: $\psi=0$ at $x=0,L$
• $E=\frac{\hbar}{2m}\frac{n^2\pi}{L^2}=\frac{n^2h^2}{8mL^2}$
• $\psi_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

Infinite Potential Square Well (3D)

• $\psi(x)=A\sin\frac{n_x\pi x}{L}\sin{n_y\pi y}{L}\sin{n_z\pi z}{L}$
• $E = \frac{h^2}{8mL^2}({n_x}^2+{n_y}^2+{n_z}^2)$

Harmonic Oscillator

• $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{1}{2}mw^2x^2\psi=E\psi$
• $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{1}{2}mw^2x^2\psi=E\psi$
• $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar w$

Tunneling Effect: finite potential well의 경우 벽 너머서도 $\psi$가 nonzero -> 벽을 뚫고 외부로 나갈 확률 존재

Michaelson-Morley Experiment: 방향에 따른 빛의 속력의 차이가 관찰되지 않음 -> 매질 에테르가 존재한다는 가정에 모순

Galilean Transform (classical dynamics)

$$\begin{align}x&=x^\prime+ut \newline y&=y^\prime \newline z&=z^\prime \newline t&=t^\prime \newline v&=v^\prime+u\end{align}$$

Lorenz Transform (modern dynamics)

$$\begin{align}\gamma &= \frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\newline x^\prime&=\gamma(x-ut)\newline t^\prime&=\lambda(t-\frac{ux}{c^2})\newline v_x^\prime&=\frac{dx-udt}{dt-udx/c^2}=\frac{v_x-u}{1-uv_x/c^2}\newline \vec{p}&=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\gamma m\vec{u}\newline \vec{F}&=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{m(du/dt)}{(1-u^2/c^2)^{3/2}}\newline K&=\int\frac{dp}{dt}udt=\gamma mc^2-mc^2\newline E&=K+mc^2\newline \left(\frac{E}{mc^2}\right)^2&=\frac{1}{1-v^2/c^2}\left(\frac{P}{mc}\right)^2\newline E^2&=(mc^2)^2+(pc)^2\end{align}$$

Space-Time Coordinate : $(ict,x,y,z)$

Momentum

$$\begin{align}P_\mu &= (E/c,P_x,P_y,P_z)\newline\begin{bmatrix}P_0^\prime\newline P_1^\prime\newline P_2^\prime\newline P_3^\prime \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \gamma & -i\gamma\beta & 0 & 0 \newline i\gamma\beta & \gamma 0 & 0 \newline 0 & 0 & 1 & 0 \newline 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_0\newline P_1\newline P_2\newline P_3 \end{bmatrix}\end{align}$$

Field Strength Tensor

$$F_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}0 & B_3 & -B_2 & -iE_1 \newline-B_3 & 0 & B_1 & -iE_2 \newline B_2 & -B_1 & 0 & -iE_3 \newline iE_1 & iE_2 & iE_3 & 0\newline\end{bmatrix} $$

Einstein's Convention : repeated index variable with $\sum$ -> skip $\sum$ symbol

Let $A_{\mu\nu}$ be the matrix of Lorenz Transform.

Then $x_{\mu}=A_{\mu\nu}x_{\nu}$, $F_{\mu\nu}=A_{\mu\lambda}A_{\nu\delta}F_{\lambda\delta}$

개인적인 정리용 글입니다.

얇은 필름

• 경로차: $2nd$
• 보강 간섭: $2nd=(m+\frac{1}{2})\lambda$
• 첫 표면에서 반사할 때 고정단 반사함

뉴턴 링

• $d=R-\sqrt{R^2-r^2}=\frac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}}\approx \frac{r^2}{2R}$
• $\bar{S} = 4\bar{S_0}\sin^2(\frac{\pi r^2}{\lambda R})$

단일 슬릿

• $y_{dark}=m\frac{L\lambda}{a}$
• $\phi=\frac{2\pi}{\lambda}a\sin\theta$
• $\bar{S}=4\bar{S_0}\left[\frac{\sin(\phi/2)}{\phi/2}\right]^2$

이중 슬릿

• $y_{bright} = m\frac{L\lambda}{d}$
• $y_{dark} = (m+\frac{1}{2})\frac{L\lambda}{d}$
• $\bar{S} = 4\bar{S_0}\cos^2(\frac{\pi d}{\lambda L}y)$

유한 너비 다중슬릿

• 각 슬릿의 한쪽 끝부터 같은 거리의 지점을 지나는 미소 밝기의 빛의 phasor를 더한 후 거리를 매개변수로 적분
• $\phi = \frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta$
• $\beta = \frac{2\pi a}{\lambda}\sin\theta$
• $I=I_0\cos^2(\phi/2)\left(\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}\right)^2$
• $\cos^2(\phi/2)$: from slit interval
• $\left(\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}\right)^2$: from slit width

Sign Rule

$s$: 렌즈/거울 기준 입사 광선과 같은 방향에 있으면 (+)

$s^\prime$: 렌즈/거울 기준 반사/굴절 광선과 같은 방향에 있으면 (+)

$R,f$: 반사/굴절 광선이 한 점으로 모이면 (+)

Lens Law

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}=\frac{2}{R}=\frac{1}{f}$$

* 렌즈/거울의 곡률에 비해 물체의 거리가 매우 클 때를 가정한 근사를 이용함

4 principle rays

1. 거울 중심에서 반사하는 광선
2. 근축과 평행하게 입사하는 광선
3. focal point를 지나 입사하는 광선(근축에 평행하게 반사)
4. 곡률 중심을 지나는 광선(입사 경로를 따라 반사)

구면 경계에서의 굴절

$$\frac{n_a}{s}+\frac{n_b}{s^\prime}=\frac{n_b-n_a}{R}$$

* 경계의 곡률에 비해 물체의 거리가 매우 클 때를 가정한 근사를 이용함

Lens maker's Equation

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}=(n_b-1)\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R^\prime}\right)=\frac{1}{f}$$

Microscope / Telescope

$$m=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{f_o}{f_e}$$

개인적인 정리용 글입니다.

Maxwell Equations은 다음과 같은 네 가지 방정식으로 구성된다.

• Gauss Law for E field: $\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$
• Gauss Law for B field: $\oint \vec{B}\cdot d\vec{A}=0$
• Faraday's Law(E field generation by time varying B field): $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
• Ampere's Law(B field generation by time varying E field): $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} =\mu_0\frac{dq}{dt} +\mu_0\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$
  • Maxwell added the term $+\mu_0\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$ to the Amepere's Law

이는 적분꼴로 특정한 영역을 정해야만 적용할 수 있는 식인 반면, 각각의 법칙은 공간 그 자체의 성질이다. 따라서 curl과 div를 이용하여 공간 그 자체의 성질로써 표현하면 다음과 같다.

• Gauss Law for E field: $\nabla\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
• Gauss Law for B field: $\nabla\cdot \vec{B}=0$
• Faraday's Law(E field generation by time varying B field): $\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
• Ampere's Law(B field generation by time varying E field): $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Wave Equation이란, 임의의 파동이 만족하는 미분방정식 $\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$를 의미한다. E field와 B field는 그 시간에 대한 도함수가 서로와 비례관계와 연관되어있어, 시간에 대한 이계도함수가 자기 자신에 비례하므로 진동하는 E/B field는 파동임을 알 수 있다. 또한, 빛이 진동하는 E field, B field가 엮여 진행하는 전자기파라는 사실이 잘 알려져 있다.

진공에서의 전자기파에 파동 방정식을 적용해보자. 진공이므로 enclosed charge가 0임이 자명하므로, Maxwell equations에 이를 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align}\nabla\cdot\vec{E}&=0\newline\nabla\cdot\vec{B}&=0\newline\nabla\times\vec{E}&=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\newline\nabla\times\vec{B}&=\mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\end{align}$$

따라서 다음과 같이 식을 전개할 수 있다.

$$\begin{align}\nabla\times(\nabla\times\vec{E})&=\nabla^2\vec{E}\newline&=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\newline\therefore c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\end{align}$$

위와 같은 관찰에서, 빛은 진동하는 E/B dipole을 이용하여 생성할 수 있음을 알 수 있다.

Poynting vector $\vec{S}$는 전자기파에 의한 에너지 수송의 방향과 그 크기를 나타내는 벡터로, $\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$임을 증명할 수 있다.

전기장, 자기장에 저장된 에너지의 크기가 각각 $u_E = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2$, $u_B = \frac{1}{2}\frac{1}{\mu_0}B^2$임을 기억하자.

전자기파가 $x$축 방향으로 진행하고 E field는 $y$축에, B field는 $z$축에 나란하다고 가정하면 $\vec{E}=\vec{E}_p\sin(wt-kx)\hat{j}$, $\vec{B}=\vec{B}_p\sin(wt-kx)\hat{k}$으로 표현 가능하다.

Faraday's Law에 의해 $\frac{\partial \vec{E}}{\partial x}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$이므로, $E_p=\frac{w}{k}B_p=(2\pi f)\times\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^{-1}B_p=\lambda f B_p=cB_p$이다.

즉, 전자기파에 의한 에너지 수송은 $u=u_E+u_B=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2+\frac{1}{2}\frac{1}{\mu_0}B^2=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2+\frac{1}{2}\epsilon_0E^2=\epsilon_0E^2$이다.

$dU=udV=uAcdt$이므로, $\frac{1}{A}\frac{dU}{dt}=uc=\epsilon_0E^2c=\epsilon_0EcBc=\frac{1}{\mu_0}EB$이다. $\vec{E},\vec{B},\vec{S}$는 서로 직교하므로 $\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$이다.

Poynting vector은 질량을 갖지 않는 광자가 에너지를 수송할 수 있음을 의미한다. 이동에 따른 에너지의 변화량은 힘으로부터 발생하며, 힘은 시간에 따른 운동량의 변화량으로부터 발생한다. 즉, 빛은 운동량을 갖고 있음을 의미하며, $E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$이라는 식은 이를 잘 설명한다.

동일한 Poynting vector를 갖는 두 빛이 항상 같은 방향으로 진동하는 전기장과 자기장을 가질 필요는 없다. 전기장과 자기장이 90도를 유지한 채로 동일한 각만큼 회전하여도 그 cross product에 비례하는 Poynting vector는 동일하기 때문인데, 이러한 이유에서 편광을 관찰할 수 있다. 특정 방향의 전기장만을 허용하는 특수한 물질을 이용하면 편광을 이용하여 여러 광학 기구를 제작할 수 있다.

개인적인 정리용입니다.

RLC Circuit은 저항, 코일, 축전기가 연결된 회로로써, 일반물리학에서는 주로 교류전원이 연결된 RLC Circuit에 대해 다룬다.

각 소자는 전하와 관련하여 다음과 같은 성질을 주로 가진다.

• 저항(R): 저항에 흐르는 전류 $I$에 대해 저항에 의한 전위차는 $\Delta V = -RI=-R\frac{dq}{dt}$이다.
• 코일(L): 코일에 흐르는 전류 $I$에 대해 코일에 의한 전위차는 $\Delta V = -L\frac{dI}{dt}=-L\frac{d^2 I}{dt^2}$이다.
• 축전기(C): 축전기에 흐르는 전류 $I$에 대해 축전기에 의한 전위차는 $\Delta V = -\frac{q}{C}$이다.

따라서, 단순한 교류 직렬 RLC 회로는 교류전원 $V(t)=V\sin{(wt)}$에 대해 미분방정식 $V(t)-R\frac{dq}{dt}-L\frac{d^2 I}{dt^2}-\frac{q}{C}=0$을 만족한다는 사실을 키르히호프 법칙을 통해 쉽게 알 수 있다.

해당 미분방정식은 교류전원에 의한 강제진동이므로 모든 소자에 의한 전위차는 각속도 $w$로 진동함을 유추할 수 있으므로 $A\sin{(wt+\phi)}$ 꼴로 표현될 것이다. 이러한 진동은 $Ae^{iwt}$ 꼴로 표현하는 것이 더 많은 관찰을 제공하므로, $q(t)=Ae^{iwt}$로 치환하여 미분방정식을 해결할 수 있다.

$$\begin{align}q(t)&=\frac{E_0}{-Lw^2+iRw+1/C}e^{iwt}\newline I(t)&=\frac{dq}{dt}=\frac{1}{iLw+R+1/iwC}V(t)\end{align}$$

Phasor는 이러한 RLC 회로를 분석함에 있어 더욱 직관적인 관찰을 제공한다. 이는 각 소자에 의한 리액턴스를 $Ae^{i(wt+\phi)}$로 표현하여 복소평면에 나타난 것으로, 저항, 코일, 축전기의 리액턴스는 각각 $R,iwL,\frac{1}{iwC}$이다. 리액턴스를 교류전원에서의 복소 저항과 같이 생각하면, 위의 $I(t)$를 $\frac{1}{\sum X}V(t)$와 같이 옴의 법칙과 유사한 꼴이 나타남을 확인할 수 있다. 이때 $\sum X$를 회로의 임피던스 $Z$라고 한다. 회로의 임피던스는 일반적인 저항과 같이 각 소자의 리액턴스를 종합함으로써 얻을 수 있다. 근본적으로 키르히호프 법칙을 이용하여 계산할 수 있으므로 직렬 연결, 병렬 연결에서 합성 저항을 계산하는 것과 동일하게 계산할 수 있다.

$$Z = \begin{cases}R+iwL+\frac{1}{iwC} &\text{(serial connection)}\newline \frac{1}{R^{-1}+(iwL)^{-1}+\left( \frac{1}{iwC} \right)^{-1}} &\text{(parallel connection)}\end{cases}$$