Maxwell Equation / Electromagnetic Wave

개인적인 정리용 글입니다.

 

Maxwell Equations은 다음과 같은 네 가지 방정식으로 구성된다.

• Gauss Law for E field: $\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{enc}}{{ϵ}_0}$
• Gauss Law for B field: $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}=0$
• Faraday's Law(E field generation by time varying B field): $\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}$
• Ampere's Law(B field generation by time varying E field): $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0\frac{dq}{dt}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}$
  • Maxwell added the term $+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}$ to the Amepere's Law

이는 적분꼴로 특정한 영역을 정해야만 적용할 수 있는 식인 반면, 각각의 법칙은 공간 그 자체의 성질이다. 따라서 curl과 div를 이용하여 공간 그 자체의 성질로써 표현하면 다음과 같다.

• Gauss Law for E field: $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$
• Gauss Law for B field: $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0$
• Faraday's Law(E field generation by time varying B field): $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$
• Ampere's Law(B field generation by time varying E field): $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

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Wave Equation이란, 임의의 파동이 만족하는 미분방정식 $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}$를 의미한다. E field와 B field는 그 시간에 대한 도함수가 서로와 비례관계와 연관되어있어, 시간에 대한 이계도함수가 자기 자신에 비례하므로 진동하는 E/B field는 파동임을 알 수 있다. 또한, 빛이 진동하는 E field, B field가 엮여 진행하는 전자기파라는 사실이 잘 알려져 있다.

 

진공에서의 전자기파에 파동 방정식을 적용해보자. 진공이므로 enclosed charge가 0임이 자명하므로, Maxwell equations에 이를 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}& =0\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}& =0\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}& =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}& ={\mu }_0\overrightarrow{j}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\end{array}$$

따라서 다음과 같이 식을 전개할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})& ={\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}\\ & ={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\\ \therefore c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}\end{array}$$

 

위와 같은 관찰에서, 빛은 진동하는 E/B dipole을 이용하여 생성할 수 있음을 알 수 있다.

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Poynting vector $\overrightarrow{S}$는 전자기파에 의한 에너지 수송의 방향과 그 크기를 나타내는 벡터로, $\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$임을 증명할 수 있다.

전기장, 자기장에 저장된 에너지의 크기가 각각 $u_E=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2$, $u_B=\frac{1}{2}\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2$임을 기억하자.

전자기파가 $x$축 방향으로 진행하고 E field는 $y$축에, B field는 $z$축에 나란하다고 가정하면 $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_p\sin (wt-kx)\hat{j}$, $\overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_p\sin (wt-kx)\hat{k}$으로 표현 가능하다.

Faraday's Law에 의해 $\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial x}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$이므로, $E_p=\frac{w}{k}{B}_p=(2\pi f)\times {\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^{-1}{B}_p=\lambda f{B}_p=c{B}_p$이다.

즉, 전자기파에 의한 에너지 수송은 $u=u_E+u_B=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{2}\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2={ϵ}_0{E}^2$이다.

$dU=udV=uAcdt$이므로, $\frac{1}{A}\frac{dU}{dt}=uc={ϵ}_0{E}^{2}c={ϵ}_{0}EcBc=\frac{1}{{\mu }_0}EB$이다. $\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{S}$는 서로 직교하므로 $\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$이다.

 

Poynting vector은 질량을 갖지 않는 광자가 에너지를 수송할 수 있음을 의미한다. 이동에 따른 에너지의 변화량은 힘으로부터 발생하며, 힘은 시간에 따른 운동량의 변화량으로부터 발생한다. 즉, 빛은 운동량을 갖고 있음을 의미하며, $E^2=(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$이라는 식은 이를 잘 설명한다.

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동일한 Poynting vector를 갖는 두 빛이 항상 같은 방향으로 진동하는 전기장과 자기장을 가질 필요는 없다. 전기장과 자기장이 90도를 유지한 채로 동일한 각만큼 회전하여도 그 cross product에 비례하는 Poynting vector는 동일하기 때문인데, 이러한 이유에서 편광을 관찰할 수 있다. 특정 방향의 전기장만을 허용하는 특수한 물질을 이용하면 편광을 이용하여 여러 광학 기구를 제작할 수 있다.