RLC Circuit

개인적인 정리용입니다.

 

RLC Circuit은 저항, 코일, 축전기가 연결된 회로로써, 일반물리학에서는 주로 교류전원이 연결된 RLC Circuit에 대해 다룬다.

 

각 소자는 전하와 관련하여 다음과 같은 성질을 주로 가진다.

• 저항(R): 저항에 흐르는 전류 $I$에 대해 저항에 의한 전위차는 $\Delta V = -RI=-R\frac{dq}{dt}$이다.
• 코일(L): 코일에 흐르는 전류 $I$에 대해 코일에 의한 전위차는 $\Delta V = -L\frac{dI}{dt}=-L\frac{d^2 I}{dt^2}$이다.
• 축전기(C): 축전기에 흐르는 전류 $I$에 대해 축전기에 의한 전위차는 $\Delta V = -\frac{q}{C}$이다.

따라서, 단순한 교류 직렬 RLC 회로는 교류전원 $V(t)=V\sin{(wt)}$에 대해 미분방정식 $V(t)-R\frac{dq}{dt}-L\frac{d^2 I}{dt^2}-\frac{q}{C}=0$을 만족한다는 사실을 키르히호프 법칙을 통해 쉽게 알 수 있다.

 

해당 미분방정식은 교류전원에 의한 강제진동이므로 모든 소자에 의한 전위차는 각속도 $w$로 진동함을 유추할 수 있으므로 $A\sin{(wt+\phi)}$ 꼴로 표현될 것이다. 이러한 진동은 $Ae^{iwt}$ 꼴로 표현하는 것이 더 많은 관찰을 제공하므로, $q(t)=Ae^{iwt}$로 치환하여 미분방정식을 해결할 수 있다.

$$\begin{align}q(t)&=\frac{E_0}{-Lw^2+iRw+1/C}e^{iwt}\newline I(t)&=\frac{dq}{dt}=\frac{1}{iLw+R+1/iwC}V(t)\end{align}$$

 

Phasor는 이러한 RLC 회로를 분석함에 있어 더욱 직관적인 관찰을 제공한다. 이는 각 소자에 의한 리액턴스를 $Ae^{i(wt+\phi)}$로 표현하여 복소평면에 나타난 것으로, 저항, 코일, 축전기의 리액턴스는 각각 $R,iwL,\frac{1}{iwC}$이다. 리액턴스를 교류전원에서의 복소 저항과 같이 생각하면, 위의 $I(t)$를 $\frac{1}{\sum X}V(t)$와 같이 옴의 법칙과 유사한 꼴이 나타남을 확인할 수 있다. 이때 $\sum X$를 회로의 임피던스 $Z$라고 한다. 회로의 임피던스는 일반적인 저항과 같이 각 소자의 리액턴스를 종합함으로써 얻을 수 있다. 근본적으로 키르히호프 법칙을 이용하여 계산할 수 있으므로 직렬 연결, 병렬 연결에서 합성 저항을 계산하는 것과 동일하게 계산할 수 있다.

$$Z = \begin{cases}R+iwL+\frac{1}{iwC} &\text{(serial connection)}\newline \frac{1}{R^{-1}+(iwL)^{-1}+\left( \frac{1}{iwC} \right)^{-1}} &\text{(parallel connection)}\end{cases}$$