해당 글에서는 Z/pZ 상의 순환 행렬에 대해 페르마 소정리가 성립함을 증명한다.

Theoretical Background

1. 페르마 소정리

소수 p와 정수 a에 대해 aap(mod p)가 성립한다.

2. 순환 행렬

Z/pZ 상의 n×n 행렬 M이 다음과 같은 성질을 만족하면 M은 순환 행렬이다.
i,j,a,bZ/pZ which satisfies ijab(mod n),Mij=Mab

Proof

1. Matrix Expression of polynomial multiplication

다항식 f(x)=k=0nakxk를 다음과 같은 벡터에 대응시켜보자.
v=[a0a1an]
다항식 f,g 곱셈에서 xc의 계수는 a+b=c를 만족하는 음이 아닌 가능한 모든 정수쌍 a,b에 대해 fxa의 계수와 gxb의 계수를 합한 값과 같으며, 두 n차 다항식을 곱하면 최대 2n차가 된다는 것은 익히 알려져 있다. 이를 고려할 때, '다항식 f를 곱한다'는 연산은 다음과 같은 (2n+1)×(n+1)행렬로 표현할 수 있다.

[a000a1a00a2a1000an]

2. Polynomial multiplication over Z/pZ

페르마 소정리에 의하여 0이 아닌 xZ/pZxp11(mod p)를 만족하므로, Z/pZ에서 정의되며 근을 갖지 않는 다항식 f를 다음과 같은 (p1)×(p1) 순환 행렬에 대응시키면, 다항식 f,g와 이에 대응하는 행렬 Mf,Mg에 대해서 f×gMf×Mg에 대응된다는 성질을 확인할 수 있다. 따라서 다항식을 f을 벡터가 아닌, 순환 행렬에 대응시키면 더 자연스러운 대응 관계를 관찰할 수 있다.

[a0ap2a1a1a0a2a2a1a3ap2ap3a0]

3. Fermat's Little Theorem of Circulant Matrix

(2.)에서의 관찰을 귀납적으로 적용하면, Z/pZ 상에서 정의되고 근을 갖지 않는 (p2)차 다항식 f에 대응되는 (p1)×(p1) 순환 행렬 M에 대해 Mp{f(x)}p에 대응된다. 페르마 소정리에 따라 f(x){f(x)}p(mod p)이므로 {f(x)}p에 대응되는 Mpf(x)에 대응되는 M과 동일하여, MMp(mod p)임을 알 수 있다.

 

4. Extension (Euler's Theroem of Circulant Matrix)

Z/nZ에서 위와 같은 과정을 진행할 수 있는지 확인해보자. 핵심 아이디어는 Z/pZ상에서 근을 갖지 않는 모든 다항식은 p2차 이하로 나타나며, 다항식 곱셈을 행렬의 곱셈으로 표현할 수 있다는 것이었다. 마찬가지로 Z/nZ 상에서 근을 갖지 않는 임의의 다항식은 오일러 소정리에 의해 (ϕ(n)1)차 이하의 다항식으로 표현된다. 행렬과의 대응관계 역시 똑같이 정의할 수 있으므로, 다음과 같은 관계가 Z/nZ 상에서 정의되며 근을 갖지 않는 (ϕ(n)1)차 다항식에 대응되는 ϕ(n)×ϕ(n)순환행렬 M에 대하여 MMϕ(n)(mod n)가 성립한다.

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