해당 글에서는 상의 순환 행렬에 대해 페르마 소정리가 성립함을 증명한다.
Theoretical Background
1. 페르마 소정리
소수 와 정수 에 대해 가 성립한다.
2. 순환 행렬
상의 행렬 이 다음과 같은 성질을 만족하면 은 순환 행렬이다.
Proof
1. Matrix Expression of polynomial multiplication
다항식 를 다음과 같은 벡터에 대응시켜보자.
다항식 곱셈에서 의 계수는 를 만족하는 음이 아닌 가능한 모든 정수쌍 에 대해 의 의 계수와 의 의 계수를 합한 값과 같으며, 두 차 다항식을 곱하면 최대 차가 된다는 것은 익히 알려져 있다. 이를 고려할 때, '다항식 를 곱한다'는 연산은 다음과 같은 행렬로 표현할 수 있다.
2. Polynomial multiplication over
페르마 소정리에 의하여 0이 아닌 는 를 만족하므로, 에서 정의되며 근을 갖지 않는 다항식 를 다음과 같은 순환 행렬에 대응시키면, 다항식 와 이에 대응하는 행렬 에 대해서 가 에 대응된다는 성질을 확인할 수 있다. 따라서 다항식을 을 벡터가 아닌, 순환 행렬에 대응시키면 더 자연스러운 대응 관계를 관찰할 수 있다.
3. Fermat's Little Theorem of Circulant Matrix
(2.)에서의 관찰을 귀납적으로 적용하면, 상에서 정의되고 근을 갖지 않는 차 다항식 에 대응되는 순환 행렬 에 대해 가 에 대응된다. 페르마 소정리에 따라 이므로 에 대응되는 는 에 대응되는 과 동일하여, 임을 알 수 있다.
4. Extension (Euler's Theroem of Circulant Matrix)
에서 위와 같은 과정을 진행할 수 있는지 확인해보자. 핵심 아이디어는 상에서 근을 갖지 않는 모든 다항식은 차 이하로 나타나며, 다항식 곱셈을 행렬의 곱셈으로 표현할 수 있다는 것이었다. 마찬가지로 상에서 근을 갖지 않는 임의의 다항식은 오일러 소정리에 의해 차 이하의 다항식으로 표현된다. 행렬과의 대응관계 역시 똑같이 정의할 수 있으므로, 다음과 같은 관계가 상에서 정의되며 근을 갖지 않는 차 다항식에 대응되는 순환행렬 에 대하여 가 성립한다.